今回は、「覚えにくい…」と言われている、

 

「三角関数」 の 『 積→和，和→積 』 の公式の導き方

 

について一緒に考えてみましょう。

 

 

積→和の公式、和→積の公式 は、

 

覚えるのではなく導けるようになる方がいい です。

 

なぜなら、『 積→和，和→積 』の公式 は、三角関数の公式のなかでも恐らく最も複雑な上、公式が8つもあって種類が多いので、正確に暗記してしまうのに労力がかかりますし、また、語呂合わせでの暗記もなくはないのですが、なんとなく、いまひとつ感が否めません。 加えて、そのような複雑な公式なので、試験中など重要な時に符号や順番などを「ド忘れ」してしまうと、その問題が解けないだけでなく、焦ってしまい、それ以外の問題にも影響してしまったりすることがあるからです。

 

もちろん、それでも「公式を導くなんてイヤだ！覚えて暗記したい！」というのであれば、語呂合わせを調べて覚えてください。

 

それも一つの方法ですから。

 

ネットで検索するといくつか出てきますよ。

 

 

それでは、いってみましょう。

 

まず大前提として、『 加法定理 』  は、完全・確実に覚えていてくださいね。

 

「えっ『加法定理』…、まだ…おぼえていない…」

 

っていうキミ、

 

今すぐ『確実に』 覚えてください。『 加法定理 』は三角関数の基本中の基本ですから。

 

 

それではあらためていってみましょう。

 

 

 

まずは、加法定理から積和の公式を導き出します。

 

 

《 加法定理 → 積和公式 》

 

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ ･･･①
sin(α-β)  = sinαcosβ – cosαsinβ ･･･②
cos(α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ ･･･③
cos(α-β)  = cosαcosβ + sinαsinβ ･･･④

 

①+②から
sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinαcosβ ･･･(P)

sinαcosβ = 1/2｛sin(α+β) + sin(α-β)｝

 

①-②から
sin(α+β) – sin(α-β) = 2cosαsinβ ･･･(Q)

cosαsinβ = 1/2｛sin(α+β) – sin(α-β)｝

 

③+④から
cos(α+β) + cos(α-β) = 2cosαcosβ ･･･(R)

cosαcosβ = 1/2｛cos(α+β) + cos(α-β)｝

 

③-④から
cos(α+β) – cos(α-β) = -2sinαsinβ ･･･(S)

sinαsinβ = -1/2｛cos(α+β) – cos(α-β)｝

 

以上より、

 

《 積和公式 》

sinαcosβ = 1/2｛sin(α+β) + sin(α-β)｝

cosαsinβ = 1/2｛sin(α+β) – sin(α-β)｝

cosαcosβ = 1/2｛cos(α+β) + cos(α-β)｝

sinαsinβ = -1/2｛cos(α+β) – cos(α-β)｝

 

 

 

 

次に、積和の公式から和積の公式を導き出します。

 

《 積和公式 → 和積公式 》

 

α+β= A, α-β= Bとすると
α= A+B/2, β= A-B/2となり、

 

(P)から
sinA + sinB = 2sin(A+B/2)cos(A-B/2)

 

(Q)から
sinA – sinB = 2cos(A+B/2)sin(A-B/2)

 

(R)から
cosA + cosB = 2cos(A+B/2)cos(A-B/2)

 

(S)から
cosA – cosB = -2sin(A+B/2)sin(A-B/2)

 

 

以上より、

 

《 和積公式 》

sinA + sinB = 2sin(A+B/2)cos(A-B/2)

sinA – sinB = 2cos(A+B/2)sin(A-B/2)

cosA + cosB = 2cos(A+B/2)cos(A-B/2)

cosA – cosB = -2sin(A+B/2)sin(A-B/2)

 

 

 

こんな感じで、テスト中でもサッと公式を導き出すことができます。

公式を覚えようと努力するよりも、公式を導き出す練習を何度か繰り返すほうが、三角関数の演算能力も上がります。

 

 

最後に一言、「 積→和，和→積 」の公式 は、公式自体よりも「 公式をいつ使うか 」ということの方が大事になってきます。

 

高校生のうちは、主に 『 三角関数の微分 』 や， 『 複雑な三角方程式 』 ，『 三角関数の証明問題 』 ，『 角度に端数が現れたとき ( 例：sin15°+sin105° = 2sin60°cos45°) 』 などで使います。

 

もう少しだけ詳しく説明すると、『 微分 』 をはじめとする多くの計算において、積（掛け算）よりも 和・差・定数倍 となっている方が計算しやすいため、「積」の形で表された式を「和・差・定数倍」で表された式に直す場面がよくあります。

 

逆に、『 複雑な三角方程式  』 を解く際など、因数分解したい時においては 「和・差」 を 「積」 に直すことになります。

 

いずれにしても、「 積→和，和→積 」の公式 を使う問題に出会ったら、「 どのようにその公式を使うのか 」 その解法パターンや手順を、よく練習して覚えてしまうようにしましょう。

 

大丈夫です。

 

すぐに慣れますから。

 

 

「 積→和，和→積 」の公式 を “導いて” 使う問題を沢山解き、得点源にしてしまいましょう！