このあいだ、

 

三角関数の「 積→和，和→積 」の公式の導き方

 

について一緒に考えましたが、

 

「先生、計算ちょっとはしょりすぎですよ～」

 

なんて声が聞こえてきました。

 

こないだのコラムでも説明しましたが、『 加法定理 』 を当てはめて計算すればよいだけなのですが…

 

「 でもちょっと…わからないんです… 」

 

わかりました。それでは、あらためていってみましょう。

 

 

 

加法定理から 積→和 の公式を導き出します。

 

《 加法定理 → 積和公式 》

 

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ ･･･①
sin(α-β)  = sinαcosβ – cosαsinβ ･･･②
cos(α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ ･･･③
cos(α-β)  = cosαcosβ + sinαsinβ ･･･④

 

 

①＋②から

それぞれ加法定理展開して整理します。

sin(α+β) + sin(α-β) = sinαcosβ+ cosαsinβ+ sinαcosβ- cosαsinβ

= sinαcosβ+ sinαcosβ+ cosαsinβ- cosαsinβ

= 2sinαcosβ

よって、

sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinαcosβ･･･(P) ←積和公式から和積公式への変換で使います。

両辺を入れ替えて

2sinαcosβ = sin(α+β) + sin(α-β)

両辺を2で割って、

sinαcosβ = 1/2｛ sin(α+β) + sin(α-β) ｝

 

 

①－②から

それぞれ加法定理展開して整理します。

sin(α+β) – sin(α-β) = sinαcosβ+ cosαsinβ- ( sinαcosβ – cosαsinβ )

= sinαcosβ+ cosαsinβ- sinαcosβ + cosαsinβ

= sinαcosβ- sinαcosβ+ cosαsinβ + cosαsinβ

= 2cosαsinβ

よって、

sin(α+β) – sin(α-β) = 2cosαsinβ･･･(Ｑ) ←積和公式から和積公式への変換で使います。

両辺を入れ替えて

2cosαsinβ = sin(α+β) – sin(α-β)

両辺を2で割って、

cosαsinβ = 1/2｛ sin(α+β) – sin(α-β) ｝

 

 

③＋④から

それぞれ加法定理展開して整理します。

cos(α+β) + cos(α-β) = cosαcosβ – sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ

= cosαcosβ + cosαcosβ – sinαsinβ + sinαsinβ

= 2cosαcosβ

よって、

cos(α+β) + cos(α-β) = 2cosαcosβ･･･(R) ←積和公式から和積公式への変換で使います。

両辺を入れ替えて

2cosαcosβ = cos(α+β) + cos(α-β)

両辺を2で割って、

cosαcosβ = 1/2｛ cos(α+β) + cos(α-β) ｝

 

 

③-④から

それぞれ加法定理展開して整理します。

cos(α+β) – cos(α-β) = cosαcosβ – sinαsinβ – ( cosαcosβ + sinαsinβ)

= cosαcosβ – sinαsinβ – cosαcosβ – sinαsinβ)

= cosαcosβ – cosαcosβ – sinαsinβ – sinαsinβ

= – 2sinαcosβ

よって、

cos(α+β) – cos(α-β) = – 2sinαsinβ･･･(S) ←積和公式から和積公式への変換で使います。

両辺を入れ替えて

– 2sinαsinβ = cos(α+β) – cos(α-β)

両辺を -2で割って、

sinαsinβ = – 1/2｛ cos(α+β) – cos(α-β) ｝

 

 

以上より、

 

《 積和公式 》

sinαcosβ  = 1/2｛sin(α+β) + sin(α-β)｝

cosαsinβ  = 1/2｛sin(α+β) – sin(α-β)｝

cosαcosβ = 1/2｛cos(α+β) + cos(α-β)｝

sinαsinβ  = -1/2｛cos(α+β) – cos(α-β)｝

 

 

 

 

積和公式から 和→積 の公式を導き出します。

 

《 積和公式 → 和積公式 》

 

α+β = A，α-β = B とすると
α = A+B/2，β = A-B/2 となり、

 

(P)から
sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinαcosβ･･･(P)

それぞれ置き換えて

sinA + sinB = 2sin(A+B/2)cos(A-B/2)

 

 

(Q)から
sin(α+β) – sin(α-β) = 2cosαsinβ･･･(Ｑ)

それぞれ置き換えて

sinA – sinB = 2cos(A+B/2)sin(A-B/2)

 

 

(R)から

cos(α+β) + cos(α-β) = 2cosαcosβ･･･(R)

それぞれ置き換えて

cosA + cosB = 2cos(A+B/2)cos(A-B/2)

 

 

(S)から
cos(α+β) – cos(α-β) = – 2sinαsinβ･･･(S)

それぞれ置き換えて

cosA – cosB = -2sin(A+B/2)sin(A-B/2)

 

 

以上より、

 

《 和積公式 》

sinA + sinB  = 2sin(A+B/2)cos(A-B/2)

sinA – sinB   = 2cos(A+B/2)sin(A-B/2)

cosA + cosB = 2cos(A+B/2)cos(A-B/2)

cosA – cosB  = -2sin(A+B/2)sin(A-B/2)

 

 

このようにして、公式を導き出すことができます。

 

繰り返しになりますが、公式を覚えようと努力するよりも、公式を導き出す練習を何度か繰り返すほうが、三角関数の演算能力も上がりますよ。

 

 

「 積→和，和→積 」の公式 を “導いて” 使う問題を沢山解き、得点源にしてしまいましょう！